За пределами диаграмм Фейнмана: как позитивная геометрия переписывает законы физики
Математику и физику часто считают двумя сторонами одной медали. Первая дает язык и инструменты для описания физических явлений, вторая подталкивает к созданию новых математических идей.
Светлана ЛевченкоАвтор новостей
Особенно заметно это взаимное влияние в таких областях, как квантовая теория поля и космология, где абстрактные математические конструкции и физические теории развиваются рука об руку.
Недавняя работа международной группы ученых показывает, насколько глубоко геометрические представления могут менять наше понимание природы — от микромира элементарных частиц до устройства Вселенной в целом. Специалисты сосредоточились на так называемой положительной геометрии — молодой, но стремительно развивающейся области математики, которая возникла под влиянием идей в физике высоких энергий и космологии.
Традиционно взаимодействие частиц описывалось с помощью диаграмм Фейнмана, где линии и вершины изображают пути частиц и точки их столкновения. Но такой подход связан с крайне сложными вычислениями: каждая диаграмма соответствует интегралу высокой размерности, который зачастую бывает трудно или невозможно решить напрямую. Положительная геометрия предлагает альтернативу. В ней взаимодействия рассматриваются как объемы многомерных геометрических фигур, таких как амплитуэдр — объект, предложенный в 2013 году физиками Нимой Аркани-Хамедом и Ярославом Трнкой. Внутренняя структура этих фигур позволяет по-новому вычислять вероятности рассеяния частиц, избегая громоздких промежуточных шагов.
Эти идеи оказались полезными и за пределами физики частиц. В космологии, где ученые исследуют распределение галактик и остаточное излучение ранней Вселенной, похожие методы позволяют описывать корреляции в «первом свете» космоса. Так появились космологические политопы — положительные геометрии, которые кодируют следы законов, действовавших на заре существования Вселенной. С их помощью можно восстанавливать картину процессов, которые сформировали сегодняшнюю структуру космоса.
Математика, которая стоит за этим подходом, опирается на самые разные разделы: алгебраическую геометрию, описывающую фигуры через решения уравнений; алгебраический анализ, позволяющий работать с дифференциальными уравнениями с помощью абстрактных объектов; комбинаторику, изучающую способы организации и взаимодействия этих структур. Несмотря на высокий уровень абстракции, все эти инструменты напрямую связаны с наблюдаемыми физическими явлениями — от поведения частиц в ускорителях до распределения вещества в космосе.
Ученые подчеркивают, что положительная геометрия — это не математическая игрушка, а язык, который сможет объединить разные области физики. Она естественным образом кодирует передачу информации между системами и помогает связать конкретные физические процессы с абстрактными структурами. «Положительная геометрия все еще молода, но уже сейчас видно, что она может существенно повлиять на фундаментальные исследования как в физике, так и в математике», — отмечают авторы работы.
Ранее новый алгоритм позволил решить одну из самых известных проблем физики — суммирование диаграмм Фейнмана.
Поделиться
